Moving Average Process Order 1

2.1 Moving Average Models (model MA) Model deret waktu yang dikenal dengan model ARIMA dapat mencakup istilah autoregressive dan atau istilah rata-rata bergerak. Dalam Minggu 1, kita belajar istilah autoregressive dalam model time series untuk variabel x t adalah nilai lag dari x t. Misalnya, istilah autoregressive lag 1 adalah x t-1 (dikalikan dengan koefisien). Pelajaran ini mendefinisikan istilah rata-rata bergerak. Istilah rata-rata bergerak dalam model deret waktu adalah kesalahan masa lalu (dikalikan dengan koefisien). Misalkan (wt overset N (0, sigma2w)), yang berarti bahwa w t identik, didistribusikan secara independen, masing-masing dengan distribusi normal memiliki mean 0 dan varian yang sama. Model rata-rata bergerak urutan 1, dilambangkan dengan MA (1) adalah (xt mu wt theta1w) Model rata-rata bergerak urutan 2, yang dinotasikan dengan MA (2) adalah (xt mu wt theta1w theta2w) Model rata-rata pergerakan harga th q th , Dilambangkan dengan MA (q) adalah (xt mu wt theta1w theta2w titik thetaqw) Catatan. Banyak buku teks dan program perangkat lunak menentukan model dengan tanda negatif sebelum persyaratan. Ini tidak mengubah sifat teoritis umum dari model, meskipun ia membalik tanda aljabar dari nilai koefisien perkiraan dan (unsquared) terms dalam formula untuk ACF dan varians. Anda perlu memeriksa perangkat lunak Anda untuk memverifikasi apakah tanda negatif atau positif telah digunakan untuk menuliskan model perkiraan dengan benar. R menggunakan tanda-tanda positif pada model dasarnya, seperti yang kita lakukan di sini. Sifat Teoritis dari Seri Waktu dengan Model MA (1) Perhatikan bahwa satu-satunya nilai nol di dalam teoritis ACF adalah untuk lag 1. Semua autokorelasi lainnya adalah 0. Jadi sampel ACF dengan autokorelasi signifikan hanya pada lag 1 adalah indikator dari model MA (1) yang mungkin. Bagi siswa yang tertarik, bukti sifat ini adalah lampiran untuk handout ini. Contoh 1 Misalkan model MA (1) adalah x t 10 w t .7 w t-1. Dimana (wt overset N (0,1)). Dengan demikian koefisiennya 1 0,7. ACF teoritis diberikan oleh sebidang ACF berikut. Plot yang baru saja ditunjukkan adalah ACF teoritis untuk MA (1) dengan 1 0,7. Dalam prakteknya, contoh biasanya akan memberikan pola yang jelas. Dengan menggunakan R, kita mensimulasikan n 100 nilai sampel menggunakan model x t 10 w t .7 w t-1 dimana w t iid N (0,1). Untuk simulasi ini, rangkaian time series dari data sampel berikut. Kami tidak tahu banyak dari plot ini. Contoh ACF untuk data simulasi berikut. Kita melihat lonjakan pada lag 1 diikuti oleh nilai-nilai yang tidak signifikan secara umum untuk kelambatan masa lalu 1. Perhatikan bahwa sampel ACF tidak sesuai dengan pola teoritis dari MA yang mendasarinya (1), yaitu bahwa semua autokorelasi untuk kelambatan masa lalu 1 akan menjadi 0 Sampel yang berbeda akan memiliki sampel ACF yang sedikit berbeda yang ditunjukkan di bawah, namun kemungkinan memiliki fitur luas yang sama. Sifat Teori dari Seri Waktu dengan Model MA (2) Untuk model MA (2), sifat teoretis adalah sebagai berikut: Perhatikan bahwa satu-satunya nilai nol pada ACF teoritis adalah untuk lags 1 dan 2. Autokorelasi untuk kelambatan yang lebih tinggi adalah 0 Jadi, sampel ACF dengan autokorelasi signifikan pada kelambatan 1 dan 2, namun autokorelasi yang tidak signifikan untuk kelambatan yang lebih tinggi mengindikasikan model MA (2) yang mungkin. Iid N (0,1). Koefisiennya adalah 0,5 dan 0,3. Karena ini adalah MA (2), ACF teoritis akan memiliki nilai tak-nol hanya pada kelambatan 1 dan 2. Nilai dari dua autokorelasi tak-nol adalah sebidang ACF teoritis berikut. Seperti yang hampir selalu terjadi, sampel data tidak akan berperilaku sangat sempurna seperti teori. Kami mensimulasikan n 150 nilai sampel untuk model x t 10 w t .5 w t-1, 3 w t-2. Dimana w t iid N (0,1). Kumpulan deret waktu dari data berikut. Seperti halnya plot seri waktu untuk data sampel MA (1), Anda tidak tahu banyak tentangnya. Contoh ACF untuk data simulasi berikut. Pola ini khas untuk situasi di mana model MA (2) mungkin berguna. Ada dua lonjakan signifikan statistik pada lags 1 dan 2 diikuti oleh nilai non-signifikan untuk kelambatan lainnya. Perhatikan bahwa karena kesalahan sampling, sampel ACF tidak sesuai dengan pola teoritisnya. ACF untuk Model Umum MA (q) Properti dari model MA (q) secara umum adalah bahwa ada otokorelasi tak-nol untuk q lags pertama dan autokorelasi 0 untuk semua lags gt q. Non-keunikan hubungan antara nilai 1 dan (rho1) pada MA (1) Model. Dalam model MA (1), untuk nilai 1. Timbal balik 1 1 memberikan nilai yang sama untuk Sebagai contoh, gunakan 0,5 untuk 1. Dan kemudian gunakan 1 (0.5) 2 untuk 1. Anda akan mendapatkan (rho1) 0,4 dalam kedua contoh. Untuk memenuhi batasan teoritis yang disebut invertibilitas. Kami membatasi model MA (1) untuk memiliki nilai dengan nilai absolut kurang dari 1. Pada contoh yang diberikan, 1 0,5 akan menjadi nilai parameter yang diijinkan, sedangkan 1 10,5 2 tidak akan. Keterbacaan model MA Model MA dikatakan dapat dibalikkan jika secara aljabar setara dengan model AR tak berhingga yang terkuak. Dengan konvergensi, berarti koefisien AR turun menjadi 0 saat kita bergerak mundur. Invertibilitas adalah pembatasan yang diprogram dalam perangkat lunak time series yang digunakan untuk memperkirakan koefisien model dengan persyaratan MA. Ini bukan sesuatu yang kita periksa dalam analisis data. Informasi tambahan tentang batasan invertibilitas untuk model MA (1) diberikan dalam lampiran. Catatan Teori Lanjutan Untuk model MA (q) dengan ACF tertentu, hanya ada satu model yang dapat dibalik. Kondisi yang diperlukan untuk invertibilitas adalah bahwa koefisien memiliki nilai sedemikian rupa sehingga persamaan 1- 1 y-. - q y q 0 memiliki solusi untuk y yang berada di luar lingkaran unit. Kode R untuk Contoh-Contoh Pada Contoh 1, kami merencanakan teoritis ACF dari model x t 10 w t. 7w t-1. Dan kemudian disimulasikan n 150 nilai dari model ini dan diplotkan deret waktu sampel dan sampel ACF untuk data simulasi. Perintah R yang digunakan untuk merencanakan ACF teoritis adalah: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lag dari ACF untuk MA (1) dengan theta1 0.7 lags0: 10 menciptakan sebuah variabel bernama lags yang berkisar dari 0 sampai 10. plot (Lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF utama untuk MA (1) dengan theta1 0.7) abline (h0) menambahkan sumbu horizontal ke plot Perintah pertama menentukan ACF dan menyimpannya dalam objek Bernama acfma1 (pilihan nama kita). Perintah plot (perintah ke-3) cenderung tertinggal dibandingkan nilai ACF untuk lags 1 sampai 10. Parameter ylab memberi label sumbu y dan parameter utama menempatkan sebuah judul pada plot. Untuk melihat nilai numerik ACF cukup gunakan perintah acfma1. Simulasi dan plot dilakukan dengan perintah berikut. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simulasikan n 150 nilai dari MA (1) xxc10 menambahkan 10 untuk membuat mean 10. Simulasi default berarti 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF untuk data sampel simulasi) Pada Contoh 2, kami merencanakan teoritis ACF dari model xt 10 wt .5 w t-1, 3 w t-2. Dan kemudian disimulasikan n 150 nilai dari model ini dan diplotkan deret waktu sampel dan sampel ACF untuk data simulasi. Perintah R yang digunakan adalah acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF utama untuk MA (2) dengan theta1 0.5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, seri Simulated MA (2)) acf (x, xlimc (1,10) MainACF untuk simulasi MA (2) Data) Lampiran: Bukti Sifat MA (1) Bagi siswa yang berminat, berikut adalah bukti sifat teoritis model MA (1). Vance: (teks teks (xt) teks (wt theta1 w) 0 teks (wt) teks (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Bila h 1, ungkapan sebelumnya 1 w 2. Untuk h 2, ungkapan sebelumnya 0 Alasannya adalah bahwa, dengan definisi independensi wt. E (w k w j) 0 untuk setiap k j. Selanjutnya, karena meannya 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Untuk seri waktu, Terapkan hasil ini untuk mendapatkan ACF yang diberikan di atas. Model MA yang dapat dibalik adalah salah satu yang dapat ditulis sebagai model AR tak berhingga yang menyatu sehingga koefisien AR menyatu menjadi 0 saat kita bergerak jauh melampaui batas waktu. Nah tunjukkan ketidakseimbangan model MA (1). Kita kemudian mengganti hubungan (2) untuk w t-1 dalam persamaan (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) dengan theta1z-theta2w) Pada waktu t-2. Persamaan (2) menjadi Kami kemudian mengganti hubungan (4) untuk w t-2 dalam persamaan (3) (zt wt theta1 z - theta21w wta theta1z-theta21w) dengan theta1z - theta12z theta31w) Jika kita melanjutkan ( Tak terbatas), kita akan mendapatkan model AR tak berhingga (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Namun perlu dicatat bahwa jika 1 1, koefisien mengalikan kelambanan z akan meningkat (tak terbatas) jika kita bergerak kembali waktu. Untuk mencegah hal ini, kita membutuhkan 1 lt1. Ini adalah kondisi untuk model MA (1) yang dapat dibalik. Model MA Order Tak Terhingga Dalam minggu ke 3, perhatikan bahwa model AR (1) dapat dikonversi menjadi model MA tak terhingga: (xt - mu wt phi1w phi21w dots phik1 w dots sum phij1w) Penjumlahan istilah white noise masa lalu ini diketahui. Sebagai representasi kausal AR (1). Dengan kata lain, x t adalah tipe khusus dari MA dengan jumlah tak terhingga yang akan kembali pada waktunya. Ini disebut MA tak terbatas atau MA (). Urutan MA yang terbatas adalah AR tak berhingga dan urutan terbatas AR adalah MA tak terbatas. Ingat di Minggu 1, kami mencatat bahwa persyaratan untuk AR stasioner (1) adalah bahwa 1 lt1. Mari menghitung Var (x t) dengan menggunakan representasi kausal. Langkah terakhir ini menggunakan fakta dasar tentang deret geometris yang membutuhkan (phi1lt1) jika rangkaiannya menyimpang. NavigationScience dan Pendidikan Penerbitan Sangat jelas bahwa ACFs di (1.4) dan yang di (1.8) semua terputus setelah lag dua. Ini menunjukkan fakta bahwa proses rata-rata bergerak dari orde dua dan proses deret bilinear diagonal orde dua orde dua memiliki struktur autokorelasi yang serupa. Akibatnya, ada kemungkinan salah mengklasifikasikan proses bilinear diagonal murni dari pesanan dua sebagai proses rata-rata bergerak dua orde. Kemudahan dengan model linier mana yang pas dan praktik model nonlinear yang mendekati model linier juga dapat menyebabkan kesalahan spesifikasi pada proses bilinear diagonal murni nonlinear dari orde dua. Dari uraian di atas, sangat penting untuk menyelidiki implikasi statistik dari kesalahan klasifikasi model yang disebutkan di atas. Dalam hal ini, kita akan fokus pada fungsi penalti yang terkait dengan kesalahan klasifikasi proses PDB (2) sebagai proses MA (2). 2. Hubungan antara Parameter Proses Bilinear Diagonal Murni Dua dan Bergerak Rata-Rata Proses Pesanan Dua Setelah mengamati bahwa proses rata-rata bergerak dari orde dua dan proses bilinear murni diagonal dari orde dua memiliki struktur autokorelasi yang serupa, adalah berharga untuk diturunkan. Hubungan antara parameter kedua model. Hubungan ini akan membantu kita untuk mendapatkan fungsi penalti karena salah mengartikan model nonlinier sebagai model linier bersaing. Metode momen yang melibatkan menyamakan momen pertama dan kedua dari model bilinear diagonal murni ke momen yang sesuai dari proses rata-rata moving average nol dari dua harus digunakan untuk tujuan ini. Kita bisa melihat bahwa fungsi penalti untuk salah klasifikasi proses PDB (2) sebagai proses MA (2) (P) mengambil nilai positif. Untuk semua nilai,. . Nilai positif dari penalti untuk salah klasifikasi proses PDB (2) sebagai proses MA (2) menunjukkan bahwa kesalahan klasifikasi ini menyebabkan peningkatan variansi kesalahan. Temuan ini sesuai dengan hasil yang diperoleh 6 sehubungan dengan kesalahan klasifikasi proses PDB (1) sebagai proses MA (1). Untuk tujuan prediktif, kita harus menemukan hubungan antara P dan. Pertama, kita merencanakan P terhadap masing-masing. Gambar 1 menunjukkan plot P melawan. Tabel 1. Hukuman untuk Berbagai Nilai Parameter Proses MA (2) Proses dan PDB (2) Proses Nilai p 0,00 pada Tabel 3 menyiratkan bahwa model regresi pas cocok untuk menggambarkan hubungan antara P dan. 4. Kesimpulan Dalam penelitian ini, kami menentukan efek salah mengartikan proses bilinear diagonal murni dari orde dua sebagai proses rata-rata bergerak dari orde dua. Fungsi penalti didefinisikan dan digunakan untuk menghitung hukuman karena salah klasifikasi proses bilinear diagonal murni dari orde dua sebagai proses rata-rata bergerak dari pesanan dua berdasarkan pada berbagai himpunan nilai parameter dari kedua proses. Hukuman yang dihitung mengasumsikan nilai positif. Hal ini mengindikasikan adanya peningkatan varians kesalahan karena salah klasifikasi proses bilinear diagonal murni dari orde dua sebagai proses rata-rata pergerakan order dua. Model regresi kuadrat ditemukan sesuai untuk memprediksi hukuman berdasarkan parameter proses bilinear diagonal murni dari orde dua. Referensi Bessels, S. (2006). Satu langkah di luar persamaan yang dapat dipecahkan. Staff. science. uu. ncAfstudeerscriptieSanderBessels. pdf (Situs ini telah dikunjungi pada bulan Juni 2013). Kotak, G. E. P. Jenkins, G. M. dan Reinsel, G. C. (1994). Analisis Waktu Seri: Peramalan dan Kontrol. 3 ed. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.8.4 Model rata-rata bergerak Dari pada menggunakan nilai masa lalu dari variabel perkiraan dalam regresi, model rata-rata bergerak menggunakan kesalahan perkiraan masa lalu dalam model seperti regresi. Anda bisa melakukannya, di mana et berkedip putih. Kami menyebut ini sebagai model MA (q). Tentu saja, kita tidak mengamati nilai et, jadi tidak benar-benar regresi dalam arti biasa. Perhatikan bahwa setiap nilai dari yt dapat dianggap sebagai rata-rata bergerak tertimbang dari beberapa kesalahan perkiraan sebelumnya. Namun, model rata-rata bergerak tidak boleh disamakan dengan perataan rata-rata bergerak yang telah kita bahas di Bab 6. Model rata-rata bergerak digunakan untuk meramalkan nilai masa depan sambil meratakan rata-rata bergerak digunakan untuk memperkirakan siklus tren nilai masa lalu. Gambar 8.6: Dua contoh data dari model rata-rata bergerak dengan parameter yang berbeda. Kiri: MA (1) dengan t hitung 0.8e t-1. Kanan: MA (2) dengan t t i t-1 0.8e t-2. Dalam kedua kasus tersebut, e t biasanya terdistribusi white noise dengan mean nol dan varians satu. Gambar 8.6 menunjukkan beberapa data dari model MA (1) dan model MA (2). Mengubah parameter theta1, titik, thetaq menghasilkan pola deret waktu yang berbeda. Seperti model autoregresif, varians dari istilah kesalahan et hanya akan mengubah skala seri, bukan pola. Ada kemungkinan untuk menulis model AR (p) stasioner sebagai model MA (infty). Sebagai contoh, dengan menggunakan substitusi berulang, kita dapat menunjukkan hal ini untuk model AR (1): mulai yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et l phi12y phi1 e et amp phi13y phi12e phi1 e et amptext end Disediakan -1 lt phi1 lt 1, nilai phi1k akan menjadi lebih kecil karena k semakin besar. Jadi akhirnya kita bisa mendapatkan cdots, sebuah proses MA (infty). Hasil sebaliknya berlaku jika kita menerapkan beberapa batasan pada parameter MA. Kemudian model MA disebut invertible. Artinya, kita bisa menulis proses MA (q) invertible apapun sebagai proses AR (infty). Model yang dapat dibalik tidak hanya memungkinkan kita untuk mengubah model MA menjadi model AR. Mereka juga memiliki beberapa sifat matematika yang membuat mereka lebih mudah digunakan dalam praktik. Kendala invertibilitas sama dengan batasan stasioneritas. Untuk model MA (1): -1lttheta1lt1. Untuk model MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-theta2 lt 1. Kondisi yang lebih rumit berlaku untuk qge3. Sekali lagi, R akan menangani kendala ini saat memperkirakan model.